“...os desgostos eram a parte principal da vida; os prazeres, a exceção…”
Casa Velha, Machado de Assis
Sempre que queremos visualizar ou representar números que têm alguma relação entre si, mas sem executar operações entre eles, podemos utilizar matrizes. Imagine uma tabela de números como no Excel, com linhas e colunas, onde, dado um elemento em uma posição, por exemplo, $i$ para linha e $j$ para coluna, denominamos tal item como $a_{ij}$. Um exemplo de matriz $M$ com $n=3$ linhas e $m=2$ colunas, $n\times m$, é:
$$ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} $$Onde o elemento $a_{22}$, linha 2, coluna 2, é $a_{22}=2$.
Matrizes então são apenas representações visuais de uma coleção de números. As operações básicas que podemos executar entre duas matrizes são adição, subtração e multiplicação. Em uma única matriz podemos encontrar o determinante, calcular a transposta ou inversa e multiplicá-la por um escalar.
As regras de soma e subtração são simples: Cada elemento de uma posição em uma matriz $A$ opera com o outro na mesma posição na matriz $B$. Por exemplo:
$$ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 + 0 & 1 + 1 \\ 1 + 1 & 2 + 2 \\ 2 + 2 & 3 + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} $$Isso não ocorre na multiplicação, onde devemos utilizar a regra de linha vezes coluna e só é válida quando o número de colunas da matriz $A$, do lado esquerdo, é igual ao mesmo número de linhas da matriz $B$, do lado direito. A matriz resultado vai ser do tipo $A_{m\times p}\cdot B_{p\times n}=C_{m\times n}$. Exemplo:
$$ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \\ = \begin{vmatrix} 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 & 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \\ 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \\ ... & ... & ... & \end{vmatrix} $$Ou seja, pegamos o primeiro elemento da matriz $A$ e multiplicamos por cada elemento da primeira coluna da matriz $B$, somando os resultados. Depois passamos para o próximo elemento da primeira linha de $A$, e assim por diante.
A multiplicação por um número real é simples, basta multiplicar cada elemento da matriz $A$ pelo número. Por exemplo:
$$ \lambda = 10 \\ \lambda \cdot A = \lambda \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 10\cdot 0 & 10\cdot 1 \\ 10\cdot 1 & 10\cdot 2 \\ 10\cdot 2 & 10\cdot 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 10 \\ 10 & 20 \\ 20 & 30 \end{vmatrix} $$Dada uma matriz $A$, sua oposta é $-A$, ou seja, quando somamos as duas obtemos $A-A=\mathbf{0}$, onde $\mathbf{0}$ é a matriz nula (todos os elementos são zero).
A transposta de uma matriz $A$, escrita $A^T$, é aquela cujas linhas e colunas são invertidas.
$$ A=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ A^T= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3\\ \end{vmatrix} $$O determinante é uma função $det(A)$ que recebe uma matriz, devolve um número real e informa como os valores da matriz estão relacionados. Ela só pode ser calculada para matrizes quadradas, ou seja, que tem o mesmo número de colunas e linhas $A_{n\times n}$. Quando temos um sistema de equações lineares podemos arranjar os coeficientes em uma matriz e descobrir se há ou não soluções nesse sistema. Sistemas lineares são relações entre retas, que podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes. Veremos isso mais adiante.
A regra para uma matriz $2\times 2$ é a seguinte:
$$ A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \\ det(A) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc $$Para matrizes de ordem 3, podemos usar a regra de Sarrus para encontrar o determinante. Quando precisamos resolver um determinante de uma matriz quadrada de ordem 4 ou maior, podemos utilizar o teorema de Laplace. Dada uma matriz $M$ de ordem 3, primeiro devemos selecionar uma coluna ou linha, de preferência que tenha o maior número de zeros e depois somamos os produtos dos números por seus cofatores respectivos. O cofator é definido como
$$ C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D'_{ij} $$onde $D'_{ij}$ é o determinante da matriz quando eliminamos a linha $i$ e coluna $j$. O determinante $D$ é calculado então como $D=\sum C_{ij}$.
Algumas matrizes são chamadas de especiais:
$$ \text{Matriz linha} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\\ \text{Matriz coluna} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \\ \text{Matriz identidade } 3\times 3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$Uma matriz $A$ é dita simétrica quando $A=A^T$. Porém, isso só é possível com matrizes quadradas.
Quando temos duas ou mais equações com incógnitas que estão relacionadas, onde o maior grau das incógnitas é 1, temos um sistema de equações lineares. Por exemplo:
$$ \Biggl\{ \begin{array}{ll} x+y=2 \\ x-3y=3 \end{array} $$Há diversos métodos de solução. Clique aqui para acessar o tópico sobre Álgebra Linear com mais informações a respeito.
Os sistemas lineares, como dito anteriormente, podem ser escritos como matrizes, utilizando os coeficientes que acompanham as incógnitas como elementos dessa matriz. Utilizando o sistema anterior, teríamos a seguinte matriz:
$$ x+y =2 \\ x-3y=3\\ \\ A= \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \end{array} \right] $$Onde separamos os coeficientes sem incógnita por uma barra. No caso de uma matriz $2\times 2$ não teremos muita dificuldade de encontrar os valores de $x$ e $y$, mas pode ficar cada vez mais complicado quando temos múltiplas equações e múltiplas incógnitas. Por exemplo, no caso, $3\times 3$ a regra de Crammer é muito útil.
Em seu livro "Os Elementos", Euclides utilizou conceitos primitivos para poder desenvolver a geometria da época. Esses conceitos não podem ser definidos, são apenas aceitos como verdadeiros. Hoje em dia diríamos que são os axiomas de Euclides para a geometria clássica. Isso foi necessário pois uma determinada definição para certos objetos causaria problemas nas demonstrações, como absurdos lógicos. Nas primeiras páginas ele assinala que na geometria plana os conceitos primitivos são: Ponto, Reta e Plano.
Pontos são, paradoxalmente, objetos sem dimensão. Utilizamos letras maiúsculas para representá-los algebricamente: $A, B, C,...$. As retas são unidimensionais e seguem infinitamente em uma direção (ou seja, ambos os sentidos). Sua representação é por letras minúsculas: $r, s, t,..$. Planos são objetos de duas dimensões e, como a reta, se estende em ambas as direções infinitamente. Sua representação algébrica utiliza letras gregas minúsculas: $\pi, \theta, \lambda,...$
Com base nos conceitos primitivos anteriores, podemos definir um segmento de reta, que liga dois pontos $A$ e $B$, de comprimento finito. Sua representação álgebrica é dada por $\overline{AB}$ ou $\overline{BA}$. Nesse caso a ordem não faz diferença porque não há sentido no segmento de reta. No caso do segmento orientado, temos dois pontos ligados por um segmento de reta, mas com um sentido definido. Dados os pontos $A$ e $B$, o segmento orientado de $A$ para $B$ é dado por $\overrightarrow{AB}$.
Agora podemos definir o que é um vetor. Dados dois pontos $A$, $B$ e um segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, o vetor é um conjunto formado por todos os segmentos orientados que tem a mesma direção, sentido e módulo (comprimento) de $\overrightarrow{AB}$. Utilizamos letras minúsculas com a seta acima, por exemplo, $\vec{v}, \vec{s}, \vec{t},...$
Podemos efetuar diversas operações entre vetores, sendo a mais básica a soma. Essa operação pode ser feita através da regra do paralelogramo onde utilizamos os representantes dos vetores selecionados de forma que o ínicio do vetor $\vec{v}$ é ligado ao final do vetor $\vec{u}$, obtendo $\vec{v}+\vec{u}=\vec{w}$. A soma é efetuada como abaixo:
$$ \vec{v}= (v_1, v_2, ..., v_n) \\ \vec{u}= (u_1, u_2, ..., u_n) \\ \vec{w}=\vec{v} + \vec{u} = (v_1+u_1, v_2+u_2, ..., v_n+u_n) $$Propriedades da soma:
Existem certos objetos, chamados de escalares, que são números reais ou complexos, que podem operar nos vetores, resultando em novos vetores. Por exemplo, se $\lambda, \alpha \in \mathbb{R}$ e $\vec{v}$ é um vetor, temos:
O produto interno ou escalar é uma operação efetuada entre dois vetores. Dados $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$ e $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, temos:
$$ \vec{v}\cdot \vec{u} = v_1\cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + v_3 \cdot u_3 $$Perceba que o resultado não é um vetor mas sim um número real. A interpretação geométrica dessa operação tem a ver com o ângulo entre os vetores, que pode ser obtido pela seguinte equação:
$$ cos(\theta)=\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{||\vec{v}||\cdot ||\vec{u}|| } $$onde $||\vec{w}||$ é a operação de magnitude de um vetor (ou módulo), definida como:
$$ ||\vec{w}|| = \sqrt{w_1^2+w_2^2+...+w_n^2} $$O produto vetorial é uma operação entre dois vetores de três dimensões que resulta em um novo vetor. Dados $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ e $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, temos:
$$ \vec{v}\times \vec{u}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = (v_2 b_3-v_3 u_2, v_3 u_1-v_1 u_3, v_1 u_2- v_2 u_1) $$Onde usamos a notação canônica para $\mathbb{R^3}$ dos vetores unitários: $\hat{i}=(1,0,0), \hat{j}=(0,1,0), \hat{k}=(0,0,1)$. A interpretação geométria do produto vetorial é que obtemos um novo vetor ortogonal tanto a $\vec{v}$ quanto a $\vec{u}$. Disso podemos obter:
$$ ||\vec{v}\times \vec{u}||=||\vec{v}||\cdot ||\vec{u} ||sin(\theta) $$As propriedades do produto vetorial são:
Com o produto vetorial podemos calcular a área e o volume do paralelogramo dado pela operação:
O produto misto é dado por uma operação de produto vetorial seguida de uma operação de produto interno:
$$ \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\lambda \in \mathbb{R} $$ou seja, o resultado é um número real.
Vimos anteriormente que podemos executar diversas operações unárias (que só exigem um vetor) e binárias (dois vetores). Com base nelas podemos derivar a projeção ortogonal. Dados $\vec{u}, \vec{v}$, com $\vec{v}$ unitário, e um escalar $k \in \mathbb{R}$, queremos descobrir que valor de $k$ nos dá $k\vec{v}$ ortogonal à $\vec{u}-k\vec{v}$. Sabendo que o ângulo para ortogonalidade é $\pi /2$ e $cos(\pi / 2)=0$, calculamos:
$$ (k\vec{v})\cdot \vec{u}-(k\vec{v})\cdot(k\vec{v})=0 \\ k(\vec{v}\cdot \vec{u})-k^2||\vec{v}||^2=0 \\ k(\vec{v}\cdot \vec{u})-k^2=0 \\ k(\vec{v}\cdot \vec{u}-k)=0 \\ \Rightarrow k=\vec{v}\cdot \vec{u} $$Logo, a projeção ortogonal de $\vec{u}$ em $\vec{v}$ é $(\vec{v}\cdot \vec{u})\vec{v}$.
Caso $\vec{v}$ não seja unitário, encontramos o versor pela operação $\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}$, de forma que obtemos a fórmula mais geral:
$$ proj_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{1}{||\vec{v}||^2}[(\vec{v}\cdot \vec{u})\vec{v}]=\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\vec{v} $$Com $\vec{v}$ não nulo.
Seja $r$ uma reta no plano e $\vec{d}$ um vetor qualquer na mesma direção que $r$. Se pegarmos dois pontos na reta, não coincidentes, $P$ e $X$, podemos escrever $\vec{PX}=t\vec{d}$, onde $t$ é um escalar. Essa é a equação vetorial da reta.
Sabendo que $\vec{PX}=X-P$, também podemos escrever, para qualquer ponto $X$:
$$ X=P+t\vec{d} $$Se modificarmos um pouco a representação, utilizando $X=(x,y)$, $P=(x_0,y_0)$ e $\vec{d}=(a,b)$, temos:
$$ (x,y)=(x_0,y_0)+t(a,b) \\ x=x_0+ta\\ y=y_0+tb $$Que são as equações paramétricas da reta no plano.
Partindo da equação anterior, no plano ou espaço, podemos isolar o parâmetro $t$ em cada equação e escrever uma outra equação da reta:
$$ \frac{x-x_0}{a}=t\\ \frac{y-y_0}{b}=t\\ \frac{z-z_0}{c}=t\\ $$onde encontramos
$$ \frac{x-x_0}{a}= \frac{y-y_0}{b}= \frac{z-z_0}{c} $$que é equação na forma simétrica no plano, tendo $a, b,c$ diferentes de zero. Além disso, podemos desenvolver o seguinte raciocínio no plano:
$$ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}\\ \Rightarrow b(x-x_0)=a(y-y_0)\\ \Rightarrow bx-ay-bx_0+ay_0=0 $$que é a equação cartesiana da reta no plano.
Seja $\pi$ um plano. Dados $\vec{v}$ e $\vec{u}$ contidos em $\pi$, com suas extremidades em um ponto $P$, podemos determinar o vetor $\vec{PX}$ como uma combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{u}$:
$$ \vec{PX}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v} \\ X-P=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v} \\ X=P+\alpha \vec{u}+\beta \vec{v} $$De forma que obtemos qualquer ponto de $\pi$ por essa equação. Essa é chamada equação vetorial do plano. $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são os vetores diretores de $\pi$.
Reescrevendo os vetores e parâmetros:
$$ X=(x,y,z) \\ P=(x_0,y_0,z_0) \\ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) \\ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) $$obtemos o seguinte sistema de equações:
$$ x=x_0+\alpha u_1+ \beta v_1 \\ y=y_0+\alpha u_2+ \beta v_2 \\ z=z_0+\alpha u_3+ \beta v_3 $$Essas são as equações paramétricas do plano.
Seja $P$ um ponto de $\pi$ e $\vec{n}$ um vetor ortogonal ao plano. Qualquer ponto $X$ do plano tem a propriedade:
$$ \vec{n}\cdot \vec{PX}=0 $$Logo, para $\vec{n}=(a,b,c)$, temos
$$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \\ ax+by+cz + (ax_0+by_0 +cz_0)=0 \\ d=(ax_0+by_0 +cz_0) \\ ax+by+cz+d=0 $$Que é a equação geral do plano.
Dadas duas retas $r,s$ em um plano, podemos ter que elas são paralelas ou concorrentes. Se paralela, podem ser coincidentes ou não. As concorrentes podem ser oblíquas ou perpendiculares. Dados $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$, vetores diretores de $r$ e $s$ respectivamente, podemos calcular a posição relativa através das seguintes relações:
coincidentes: $\vec{d_r}=k\vec{d_s}$
não-coincidentes: $\vec{d_r}=k\vec{d_s}$
oblíquas: $\vec{d_r}\neq k\vec{d_s}$ e $\vec{d_r}\cdot \vec{d_s}\neq 0$
perpendiculares: $\vec{d_r}\neq k\vec{d_s}$ e $\vec{d_r}\cdot \vec{d_s}=0$
No espaço, as retas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. As retas reversas não estão no mesmo plano, mas os planos são paralelos, ou seja, não há pontos em comum entre elas.
Quando temos uma reta $r$ e um plano $\alpha$, analisemos dois casos: a) a reta é paralela ao plano; ou b) a reta é concorrente ao plano.
No caso a), o ângulo entre a reta e o plano é zero. No b), utilizaremos o menor ângulo formado entre eles. Seja $\vec{d_r}$ o vetor diretor da reta $r$ e $\vec{n}$ o vetor normal ao plano. Determinamos o ponto de intersecção da reta com o plano e $\beta+\theta=90º$ os ângulos entre $\vec{d_r}$ e $\vec{n}$, cortados pela reta $r$. Podemos calcular o ângulo $\beta$, como:
$$ cos(\beta)=\frac{|\vec{d_r}\cdot \vec{n_\alpha}|}{||\vec{d_r}|| ||\vec{n_\alpha}||} $$Sabendo que $sen(\theta)=cos(\beta)$, por serem complementares, obtemos:
$$ sen(\theta)=\frac{|\vec{d_r}\cdot \vec{n_\alpha}|}{||\vec{d_r}|| ||\vec{n_\alpha}||} $$que é o ângulo entre a reta e o plano. Caso a reta seja paralela ao plano, o resultado da expressão acima é 0.
Quando temos dois planos, $\alpha, \beta$, há duas situações entre eles, assim como com as retas: a) paralelos (coincidentes ou não); b) concorrentes (ortogonais ou não). Podemos encontrar o ângulo através dos vetores normais de cada plano e selecionando um ponto na intersecção entre eles. Dadas as retas coincidentes aos vetores normais $\vec{n_\beta}$ e $\vec{n_\alpha}$, encontramos que o ângulo entre elas, $\theta$, é dado por:
$$ cos(\theta)=\frac{|\vec{n_\alpha}\cdot \vec{n_\beta}|}{||\vec{n_\alpha}|| ||\vec{n_\beta}||} $$Dado um ponto qualquer $A$, dito centro, uma circunferência é obtida quando especificamos todos os pontos que estão a uma distância fixa de $A$. O raio é um segmento de reta que liga o centro até qualquer ponto da circunferência. O diâmetro é o dobro do raio. O círculo é delimitado pela circunferência, ou seja, é a figura geométrica em um plano que tem a circunferência como borda. A relação entre circunferência e o raio é conhecida pela constante $\pi$ através da equação:
$$ \pi=\frac{\text{circunferência}}{\text{diâmetro}} $$Quando estamos no plano cartesiano podemos utilizar os conhecimentos de geometria plana e o teorema de Pitágoras para encontrar as informações de uma circunferência. A equação para circunferência é dada por:
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 $$onde $A=(x_0,y_0)$ é o centro da circunferência e $r$ seu raio. A equação do círculo, pelo fato dos pontos estarem a uma distância menor ou igual ao raio, é dada por:
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leq r^2 $$A esfera é um objeto tridimensional e tem como equação, dado um plano cartesiano:
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 $$onde, similar à circunferência, seu centro é dado por $A=(x_0, y_0, z_0)$. A intersecção entre um plano $\pi$ e uma esfera $S$ pode ser um conjunto vazio, um ponto ou um círculo.
O sistema de coordenadas polares utiliza um raio e um ângulo para descrever pontos no plano:
$$ x=rcos(\phi)\\ y=rsin(\phi) $$onde $\phi$ é o ângulo de rotação da origem até o ponto. Para converter de coordenadas cartesianas para esse sistema, utilizamos:
$$ r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \phi = atan2(y,x) $$onde $atan2$ é uma variação da função arco tangente.
As coordenadas cilíndricas são uma extensão das coordenadas polares em três dimensões. A partir dos pontos $x,y,z$, escrevemos:
$$ \rho^2=x^2+y^2\\ \phi=tan^{-1}\frac{y}{x}\\ z=z $$As coordenadas esféricas são obtidas através de um raio e dois ângulos, onde as relações com as coordenadas cartesianas estão abaixo:
$$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta=arctg(y/x)\\ \phi=arccos(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) $$E no caso inverso, temos:
$$ x=rcos(\theta)sin(\phi)\\ y=rsin(\theta)sin(\phi)\\ z=rcos(\phi) $$Referências: